题目

已知圆M：2x2+2y2-8x-8y-1=0,直线l：x+y-9=0,过直线l上一点A作△ABC,使∠BAC=45°,边AB过圆心M,且B,C在圆M上.（1）当点A的横坐标为4时,求直线AC的方程；（2）求点A的横坐标的取值范围.

提问时间：2020-07-18

答案

已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0,直线L：x+y-9=0,过直线L上一点A作△ABC,使∠BAC=45°,边AB过圆心M,且B,C在圆M上.（1）当点A的横坐标为4时,求直线AC的方程；（2）求点A的横坐标的取值范围.
(1)园M：x²+y²-4x-4y-1/2=0,（x-2)²+(y-2)²=17/2
故圆心M(2,2)；半径R=√(17/2)
点A(4,5）,AB过M,故KAB=(5-2)/(4-2)=3/2,∠ABC=45°,故有：
❶tan∠BAC=1=(3/2-KAC)/(1+3KAC/2)=(3-2KAC)/(2+3KAC),故KAC=1/5
∴AC所在直线的方程为y=(1/5)(x-4)+5=x/5+21/5,即x-5y+21=0为所求.
❷ KAC=-5,此时AC的方程为：y=-5(x-4)+5=-5x+25,即5x+y-25=0亦为所求.
(2)本题的要求是：①点A在直线L上,因此可设A点的坐标为(a,9-a)；②∠BAC=45°；
③B,C必须在园M上.因此A点的极限位置由AB是园的切线,且△ABM是等腰直角三角形所
规定,此时AB=MB=R=√(17/2),AM²=(a-2)²+(7-a)²=[R/cos45°]²={[√(17/2)]/(√2/2)]}²=17
即有2a²-18a+53=17,2a²-18a+35=0,故a=(18±√44)/4=(9±√11)/2
∴A点横坐标a的取值范围为 (9-√11)/2≤a≤(9+√11)/2,【约2.84≤a≤6.16】