题目

数列-公式推导
以下是推导一个公式"a=a+r(1-p^n)/(1-p)"的过程
a=p*a+q (a表第n+1项)
a=p*a+q
两式相减得a-a=p(a-a)
设r=a-a
所以a-a=p(a-a)=pr ; a-a=p(a-a)=p^2*r
依此类推
a=a+(a-a)+(a-a)+.+(a-a)+(a-a)
=a+r+pr+p^2*r+.+p^(n-1)*r [这就是我要问的,为什麼是加到p^(n-1)*r而不是加到p^(n-2)*r]
=a+r(1-p^n)/(1-p)
但是由a=a+(a-a)+(a-a)+.+(a-a)+(a-a)=a+r+pr+p^2*r+.+p^(n-1)*r
第2个等号之后的各项其后项为前项的p倍,且(a-a)为(a-a)之后第(n-3)项.(a-a)对应的是p^1*r,故(a-a)所对应的应为p^(1+n-3)*r=p^(n-2)*r才对
能帮我找出这种推理方式的盲点吗,感激不尽

提问时间：2020-07-18

答案

这位同学你好,关于这个推导过程其实是没有错误的,如果你的递推式a=p*a+q 是正确的.错误是出在了"a=a+r(1-p^n)/(1-p)"这个公式,按照你所给的递推式a=p*a+q,所得到的公式应该是a=a+r(1-p^)/(1-p).你可用以下发放检验：a=p*a+q,即a-q/(1-p)=p*(a-q/(1-p)),{a-q/(1-p)}是公比为p的等比数列(p不等于1,由所推公式可知),a-q/(1-p)=(a-q/(1-p))*q^从而得a=q/(1-p)+(a-q/(1-p))*q^=a=a+r(1-p^)/(1-p),其中r=a-a,与你上述推导结果是完全吻合的.