题目

抛物线y^2=2px（p>0）的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB ,求证：AB交抛物线轴上的一个定点

提问时间：2020-07-18

答案

证明：
设A(a,b),B(c,d)
因为抛物线y^2=2px（p>0）的顶点任作两条两条互相垂直的弦OA和OB
所以
b^2=2pa.(1)
d^2=2pc.(2)
(b/a)*(d/c)=-1,即ac+bd=0.(3)
由(1)-(2)得
(b^2-d^2)/(a-c)=2p
(b-d)/(a-c)=2p/(b+d).(4)
由（1）得
a=(b^2)/2p.(5)
由（2）得
c=(d^2)/2p.(6)
把（5）（6）代入（3）得
(（bd）^2)/(4(p^2))+bd=0
因为bd≠0
bd/(4(p^2))+1=0
bd=-4(p^2).(7)
直线AB过A点,且斜率为（b-d）/（a-c）
即方程为y-b=((b-d)/(a-c))(x-a)
把（4）代入y-b=(2p/(b+d))(x-a)
(b+d)y-b^2-bd=2px-2pa
把（1）代入得
(b+d)y-2pa-bd=2px-2pa
(b+d)y-bd=2px
2px-(b+d)y+bd=0
把（7）代入得
2px-(b+d)y-4(p^2)=0
所以直线恒过（2p,0）
所以AB交抛物线轴上的一个定点（2p,0）