题目

已知x1,x2,是关于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的两个实数根.
（1） 求x1,x2的值
（2）若x1,x2,是某直角三角形的两直角边的长,问当实数m.p满足什么条件时.此直角三角形的面积最大?并求出最大值

提问时间：2020-07-18

答案

（1）
(x - 2)(x - m) = (p - 2)(p - m)
展开得：
x^2 - mx - 2x + 2m = p^2 - mp - 2p + 2m
消去相同项 2m ：
x^2 - mx - 2x = p^2 - mp - 2p
x^2 - p^2 - mx - 2x + mp + 2p = 0
提取后两项的公因式 (m+2) ：
x^2 - p^2 - [(m + 2)x - (m + 2)p] = 0
运用平方差公式,同时提取后两项的公因式 (x-p) ：
(x + p)(x - p) - (x - p)(m + 2) = 0
提取公因式 (x-p) ：
(x - p)(x + p - m - 2) = 0
因此：
x1 - p = 0
x2 + p - m - 2 = 0
易得：
x1 = p
x2 = -p + m + 2
（2）
若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长,设该直角三角形的面积为S,则有：
S = p(-p + m + 2)
配方：
S = -p^2 + mp + 2p
= -p^2 + (m + 2)p
= -{p^2 - 2*[(m + 2)/2]p + [(m + 2)/2]^2 - [(m + 2)/2]^2}
= -[p - (m + 2)/2]^2 + (m + 2)^2/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2 + 4m + 4)/4
= -[p - (m/2 + 1)]^2 + (m^2)/4 + m + 1
∵ 二次项系数 a = -1 < 0
∴ S 有最大值
当 p = m/2 + 1 时,
S 有最大值 (m^2)/4 + m + 1
∵ 在该直角三角形中,p > 0
即 m/2 + 1 > 0
∴ m > -2
答：x1 = p,x2 = -p + m + 2；
当 m > -2 且 p = m/2 + 1 时,此直角三角形的面积最大,最大值为[(m^2)/4 + m + 1].