题目

已知圆上两点,以及一条已知直线L与圆相交的弦长,怎么求圆的方程

提问时间：2020-07-18

答案

建个坐标系就容易做了：假设已知的弦长为2s,现以弦的中点为原点,以直线L为X轴建立直角坐标系,在该坐标系中,已知的两点分别为（m,n）和（p,q）,这里的s、m、n、p、q都是已知的实数哦.
由于弦的中垂线必定过圆心,所以圆心在Y轴上,设圆心为（0,b）,再设圆的半径为r,则圆的方程可表示为：x²+（y-b）²=r²,这里的b和r都是未知数哈,字母较多,请务必搞清楚,然后可以开始做题了.
首先,把圆心和直线与圆的交点连接起来,成一个直角三角形,斜边长度就是r啦,两直角边长度就分别是s和b了,勾股定理：
b²=r²-s² ①
然后,把（m,n）和（p,q）两点代入设定的方程中,得：
m²+（n-b）²=r²
→ m²+（n-b）²= p²+（q-b）² ②
p²+（q-b）²=r²
化简②式,得 b=（m²+n²-p²-q²）/2（n-q）,等号右边是个常数啦,方便起见咱就用个c代替好了
于是有 b = c ,b² = c² ③
最后,把③式代入①式中,有 ：c² = r² - s² ,这里c和s都是常数,r就求出来了,r求出来了,b也求出来了,于是,方程就求出来了.
P.S.如果题目给出的是有具体方程的直线和具体数值的弦长和具体坐标的两点,就不能像上面那样做了哦,因为这时题目已经给定了一个直角坐标系了,但是各个数值之间的关系和上面是一样的,只要动下脑筋,运用各种你学过的几何公式,凑出上面3条关系式就OK了.