题目

中心在原点0,焦点在X轴上的椭圆C上的点（2根号2,1）道两教点的距离之和为4根号3
1）求椭圆方程
2）过椭圆C的右焦点F做直线L与椭圆C分别交于A/B两点,期中A在X轴下方,且AF的向量=3FB的向量,求过O.A.B三点的圆的方程

提问时间：2020-07-17

答案

1.
椭圆方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1
点（2√2,1）道两教点的距离之和为4根号3
∴ 2a=4√3,a=2√3
:∴ 椭圆方程 x^2/12+y^2/b^2=1
将（2√2,1）代入得：b^2=3
∴ 椭圆方程为 x^2/12+y^2/3=1
2.焦点F（3,0）
直线L：x=ty+3 与x^2/12+y^2/3=1联立消去x得：
(ty+3)^2 +4y^2-12=0
即：（t^2+4)y^2+6ty -3=0
设A(x1,y1),B(x2,y2) y10
则y1+y2=-6t/(t^2+4)(1) ,y1y2=-3/(t^2+4)(2)
∵AF的向量=3FB向量,
∴y1=-3y2,代入（1）（2）：
y2=3t/(t^2+4) (3)
y2^2=1/(t^2+4) (4)
(3) 代入(4)：t^2=1/2
t=1/√2,y2=√2/3 y1=-√2
,x2=10/3 x1=2
(A(2,-√2),B(10/3,√2/3)
设 过O.A.B三点的圆的方程
x^2+y^2+Dx+Ey=0
6+2D-√2E=0
34+10D +√2 E=0
解得：D=-10/3,E=-√2/3
过O.A.B三点的圆的方程为
3x^2+3y^2-10x-√2y=0