题目

已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为3派/4,且向量m·向量n=-1.设向量a=(1,0),向量b=(cosx,sinx),其中x属于R,若向量n·向量a=0,试求|向量n+向量b|的取值范围.

提问时间：2020-07-16

答案

1.设向量n=（x,y）
则：y/x=0,x+y=-1或者y/x=-∞,x+y=-1
所以n=（-1,0）或（0,-1）
2.因为向量n与向量q=（1,0）的夹角为pai/2
所以n=（0,-1）
p=（cosA,2cos平方 C/2）=（cosA,cosC+1）
三角形ABC的内角,且A,B,C,依次成等差数列,则3B=180,
所以B=60,A+C=120
|向量n+向量p|
=√(cosA*cosA+(cosC+2)(cosC+2))
=√(cosA*cosA+cosC*cosC+4cosC+4) {展开}
=√((cos2A+cos2C)/2+1+4cosC+4) {倍角公式}
=√(cos((A+C)/2)cos((A-C)/2)+4cosC+5) {和差化积}
=√(cos((A-C)/2)/2+4cosC+5) {A+C=120}
C由0增加到120时,4cosC单调递减
C由0增加到60时,A由120减少到60,
所以A-C由120减少到0,
-cos((A-C)/2)/2单调递减
C由60增加到120时,A由60减少到0,
所以A-C由0减少到-120,
-cos((A-C)/2)/2单调递增,但与4cosC求和后总效果仍是递减的.
所以|向量n+向量p|单调递减
C=0时为最大值√(37)/2,
C=60时为√(26)/2,
C=120时为最小值√(13)/2.