题目

已知函数f（x）=e^x，曲线y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线方程为y=g（x）．
（Ⅰ）证明：对∀x∈R，f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥1+

ax

1+x

恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-13

答案

（Ⅰ）证明：由题意知g(x)＝ex0(x−x0)+ex0----（2分）令h(x)＝f(x)−g(x)＝ex−ex0(x−x0+1)，则h′(x)＝ex−ex0，----（3分）当x＜x0时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞x0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；---...

（Ⅰ）求出切线方程，构造函数h（x）=f（x）-g（x），求导函数，确定函数的单调性，即可证得结论；
（Ⅱ）分类讨论：当a≤1时，可得x≥0时，f（x）≥1+

ax

1+x

恒成立；（2）当a＞1时，令H（x）=（f（x）-1）（x+1）-ax=（e^x-1）（x+1）-ax，可证明存在区间（0，x₀）使得H'（x）＜0，H（x）单调递减，使得H（x）＜H（0）=0，从而可得结论．

本题考点：函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查恒成立问题，构造函数，正确运用导数是关键．