题目

F₁，F₂ 是椭圆

x2

9

+

y2

7

＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF₁F₂=45°，则△AF₁F₂的面积为 ___ ．

提问时间：2020-07-13

答案

由题意，可得
∵椭圆的方程为

x2

9

+

y2

7

=1，
∴a=3，b=

7

，可得c=

a2-b2

=

2

，
故焦距|F₁F₂|=2

2

，
∵根据椭圆的定义，得|AF₁|+|AF₂|=2a=6，
∴△AF₁F₂中，利用余弦定理得
|AF₁|²+|F₁F₂|²-2|AF₁|•|F₁F₂|cos45°=|AF₂|²=|AF₁|²-4|AF₁|+8，
即（6-|AF₁|）²=|AF₁|²-4|AF₁|+8，解之得|AF₁|=

7

2

故△AF₁F₂的面积为S=

1

2

|AF₁|•|F₁F₂|sin45°=

1

2

×

7

2

×2

2

×

2

2

=

7

2

．

根据椭圆的方程算出a=3、b=

7

，可得焦距|F₁F₂|=2

2

，由椭圆的定义得|AF₂|=6-|AF₁|．由此在△AF₁F₂中利用余弦定理解出|AF₁|长，根据正弦定理的面积公式即可算出△AF₁F₂的面积．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题给出椭圆的焦点三角形满足的条件，求三角形的面积．着重考查了椭圆的定义与标准方程、余弦定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．