题目
数学中值定理证明
只是其中的这一步不明白 设f(x)在(-1 1)内具有二阶连续导数.且f " (x)不等于0证明对于(-1 1)中的任一点x,x不等于0,存在唯一的Θ(x)∈(0 1),使得f(x)=f(0)+x f ' (Θ(x)x) 成立
只是其中的这一步不明白 设f(x)在(-1 1)内具有二阶连续导数.且f " (x)不等于0证明对于(-1 1)中的任一点x,x不等于0,存在唯一的Θ(x)∈(0 1),使得f(x)=f(0)+x f ' (Θ(x)x) 成立
提问时间:2020-07-13
答案
1、存在性:由拉格朗日中值定理,存在ξ(x)∈(0,x)(x>0)[ξ(x)∈(x,0)(x<0)]使f(x)-f(0)=(x-0)f'(ξ(x))
令ξ(x)=xθ(x),可知θ(x)∈(0,1)满足条件,所以说存在θ(x)∈(0,1)使f(x)=f(0)+x f'(xθ(x))成立,存在性获证
2、唯一性,假如说存在多个不同的θ(x)使f(x)=f(0)+x f'(xθ(x))成立
假设其中两个为θ1(x),θ2(x)满足θ1(x)<θ2(x),则由拉格朗日中值定理,有
f'(xθ1(x))-f'(xθ2(x))=(xθ1(x)-xθ2(x))f''(η(x)),其中η(x)∈(xθ1(x),xθ2(x))(x>0)[(xθ2(x),xθ1(x))(x<0)]
又f'(xθ(x))=(f(x)-f(0))/x,所以说f'(xθ1(x))-f'(xθ2(x))=0,即(xθ1(x)-xθ2(x))f''(η(x))=0
因为有θ1(x)<θ2(x),x≠0,所以只能f''(η(x))=0
但题设条件有f"(x)不等于0,矛盾,所以说不存在多个不同的θ(x)满足条件,唯一性获证
令ξ(x)=xθ(x),可知θ(x)∈(0,1)满足条件,所以说存在θ(x)∈(0,1)使f(x)=f(0)+x f'(xθ(x))成立,存在性获证
2、唯一性,假如说存在多个不同的θ(x)使f(x)=f(0)+x f'(xθ(x))成立
假设其中两个为θ1(x),θ2(x)满足θ1(x)<θ2(x),则由拉格朗日中值定理,有
f'(xθ1(x))-f'(xθ2(x))=(xθ1(x)-xθ2(x))f''(η(x)),其中η(x)∈(xθ1(x),xθ2(x))(x>0)[(xθ2(x),xθ1(x))(x<0)]
又f'(xθ(x))=(f(x)-f(0))/x,所以说f'(xθ1(x))-f'(xθ2(x))=0,即(xθ1(x)-xθ2(x))f''(η(x))=0
因为有θ1(x)<θ2(x),x≠0,所以只能f''(η(x))=0
但题设条件有f"(x)不等于0,矛盾,所以说不存在多个不同的θ(x)满足条件,唯一性获证
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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