题目

将正整数按如图所示的规律排列,并把排在左起第m列,上起第n行的数记为amn,（1）试用m表示am1； （2）当

提问时间：2020-07-13

答案

从左上角往右下角考虑,1,（1,2,3,4）,（1,2,3,...,8,9),（1,2,3,..15,16),（1,2,3,4,...24,25),...,这些数都组成了一个正方形.而最后一个数,1,4,9,16,25...由于是正方形,必然处于正方形的顶角处,这样不是在第一行就是在第一列,通过观察发现,偶数个数组成的正方形,末尾数处于第一行,如4,16,36……奇数个数组成的正方形,末尾数处于第一列,如1,9,25.这样可以轻易的写出
第一行表达式：
am1=（m-1）^2+1(m为奇数时）,am1=m^2(m为偶数时）
于是am1通项为：am1=[1+(-1)^m]*(m^2)/2+[1-(-1)^m]*[(m-1)^2+1]/2
第一列表达式：
a1n=n^2(n为奇数时）,a1n=(n-1)^2+1(n为偶数时）
于是an1通项为：an1=[1+(-1)^n]*[(n-1)^2+1]/2+[1-(-1)^n]*(n^2)/2
下面给出a1n的证明过程（数学归纳法）

通过第一行和第一列的表达式,可以很轻易的求出所有位置数的值,例如要求M,N（M是列,N是行）处的值
过程如下：
比较M和N的大小
1.若M大于N则先求出aM1的值（利用刚开始给出的表达式）,若M为奇数
则aMN=aM1+N-1；若M为偶数aMN=aM1-N+1;
代入之前第一行aM1通项,有aMN=(M-1)^2+N(M为奇数时);aMN=M^2-N+1(M为偶数时)
2.若M小于N 则先求出a1N的值（利用刚开始给出的表达式）,若N为奇数
则aMN=a1N-M+1；若N为偶数,则aMN=a1N+M-1
代入之前第一列通项,有aMN=N^2-M+1(N为奇数时);aMN=(N-1)^2+M(N为偶数时)
3.M=N时,用1,2两种情况都可以计算
对以上三种情况进行整合有通项公式为：
aMN=[1+(-1)^M]*[M^2-N+1]/2+[1-(-1)^M]*[(M-1)^2+N]/2 (M>=N)
aMN=[1+(-1)^N]*[(N-1)^2+M]/2+[1-(-1)^N]*[N^2-M+1]/2 (Mn于是amn=（15-1）^2+9=205