题目

已知双曲线C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂：y²=2px（p＞0）与双曲线C₁共焦点，C₁与C₂在第一象限相交于点P，且|F₁F₂|=|PF₁|，则双曲线的离心率为 ___ ．

提问时间：2020-07-13

答案

设点P（x₀，y₀），F₂（c，0），过P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF₂，由双曲线定义可得|PF₂|=|PF₁|-2a
由抛物线的定义可得|PA|=x₀+c=2c-2a，∴x₀=c-2a
在直角△F₁AP中，|F1A|2=(2c)2-(2c-2a)2=8ac-4a2
∴y02=8ac-4a2
∴8ac-4a²=4c（c-2a）
∴c²-4ac+a²=0
∴e²-4e+1=0
∵e＞1
∴e=2+

3

故答案为：2+

3

过P作抛物线准线的垂线，垂足为A，连接PF₂，在直角△F₁AP中．利用勾股定理，结合双曲线、抛物线的定义，即可求出双曲线的离心率．

本题考点：圆锥曲线的共同特征．

考点点评：本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．