题目

已知双曲线C1:x2/a2-y2/b2的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,若A,B是C2上两点且OA⊥OB,则直线AB与y轴的交点的纵坐标为
A.8√3/3 B.16 c.8 D.16√3/3

提问时间：2020-07-13

答案

抛物线焦点为F(0,p/2),
e=c/a=2,
∴c=2a,
b=√(c^2-a^2)=√(4a^2-a^2)=√3a,
双曲线一渐近线方程为:y=bx/a=√3x,
√3x-y=0,
抛物线焦点至双曲线一渐近线距离d=|0-p/2|/√(1+3)=|p|/4=2,
∴p=±8,
∴抛物线方程为:x^2=±16y,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
向量OA=(x1,y1),
向量OB=(x2,y2),
∵OA⊥OB,
∴OA·OB=0.
x1x2+y1y2=0,
x1^2=16y1,
x2^2=16y2,
x1x2+(x1^2/16)(x2^2/16)=0,
x1x2+(x1x2)^2/256=0,
∴x1x2=-256,(1)
y1y2=256,(2)
设AB方程为:y=kx+m,
x^2=±16*(kx+m),
x^2±16kx-16m=0,
根据韦达定理,
x1*x2=-16m,
由(1)式得:-256=-16m,
∴m=16,
从直线方程x=kx+m可知,m是直线在Y轴的截距,即是交点的纵坐标,
∴直线AB与y轴的交点的纵坐标为16,应选 B.