题目

设F1.F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=q的左右焦点,若在双曲线的右之上存在点p,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到
直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,这该双曲线的渐进线方程是,

提问时间：2020-07-13

答案

易知q>0,将双曲线化为标准方程：x²/a²q -y²/b²q=1
则a'²＝a²q,b'²=b²q,
作F2Q⊥PF1,垂足为Q,因为|PF2|=|F1F2|=2c',所以Q是PF1的中点,
由于 |F1F2|² =|F1Q|² +|F2Q|² ,即 4c'² =|F1Q|² +4a'²,从而 |F1Q| ²=4(c'²-a'²)=4b'²
|F1Q|=2b',所以|PF1|=2|F1Q|=4b'
又P在右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a',所以 4b'-2c'=2a',2b'-a'=c'
平方 得 (2b'-a')²=c'²,4b'²-4a'b'+a'²=a'²+b'²
3b'²=4a'b',b'/a'=4/3
渐进线方程为y=±(b'/a')x=±(4/3)x