题目

exp(i*theta)=exp{2*pi*i*[theta/(2*pi)]}=[exp(2*pi*i)]^[theta/(2*pi)]=1^[theta/(2*pi)]=1?
exp(i*theta)=exp{2*pi*i*[theta/(2*pi)]}=[exp(2*pi*i)]^[theta/(2*pi)]=1^[theta/(2*pi)]；
exp(2*pi*i)等于1是吧!那这个式子哪里出问题了呢?难道复数运算里面指数不能随便放入括号里吗?
求教

提问时间：2020-07-13

答案

注意在复数范围内,1的方根可不止一个!而1^[theta/(2*pi)]可看作1的2pi/theta次方根.若2pi/theta是有理数,设2pi/theta=m/n,则1^[theta/(2*pi)]有t=lcm(m,n)个结果：{exp{i*2kpi/(2pi/theta)}|0<=k<=t-1}=exp(i*k*theta)|0<=k<=t-1}；若2pi/theta不是有理数,则1^[theta/(2*pi)]有无穷个结果,遍历整个单位圆.原式=1仅是其中一种情况：当且仅当k=0时.此外还有t-1种.exp(i*theta)是k=1时得结果,也仅有这个才是原式的解,其它t-1种情况,全是增根.