题目

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），若f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-07-13

答案

设F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)＝−

(2x+1)(ax−1)

x

当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，F（x）≤0不可能恒成立；
当a＞0时，令F′（x）=0，得x＝

1

a

，x＝−

1

2

（舍去）．
当0＜x＜

1

a

时，F′（x）＞0，函数单调递增；当x＞

1

a

时，F′（x）＜0，函数单调递减；
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(

1

a

)，依题意F(

1

a

)≤0恒成立，
即ln

1

a

+

1

a

−1≤0恒成立，
∵gg(a)＝ln

1

a

+

1

a

−1单调递减，且g（1）=0，
∴ln

1

a

+

1

a

−1≤0成立的充要条件是a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．