题目

不等式f（x）=

2+x x−1

的定义域为集合A，关于x的不等式(

1

2

)2x＞2^-a-x，（a∈R）的解集为B，求使A∩B=B的实数a取值范围．

提问时间：2020-07-13

答案

由

2+x

x−1

≥0解得x≤-2或x＞1
于是A=（-∞，-2]∪（1，+∞）．
(

1

2

)2x＞2−a−x⇔(

1

2

)2x＞(

1

2

)a+x⇔2x＜a+x⇔x＜a．
所以B=（-∞，a）．
因为A∩B=B，
所以B⊆A，
所以a≤-2，即a的取值范围是（-∞，-2]．

由

2+x

x−1

≥0可解得A=（-∞，-2]∪（1，+∞），再将“(

1

2

)2x＞2−a−x”转化为“(

1

2

)2x＞(

1

2

)a+x”利用指数函数的单调性可得x＜a从而有B=（-∞，a），最后由A∩B=B等价于B⊆A求解．

本题考点：指数函数单调性的应用；交集及其运算；对数函数的定义域．

考点点评：本题主要考查函数的定义域的求法及利用函数的单调性解不等式和集合间的运算．