题目

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点0是BC的中点，D为AB上一动点，延长DO到E，且OE=OD，连接CE．

（1）如图2，若D为AB的中点，请判断四边形EDAC的形状，并说明理由；
（2）如图3，若∠A=60°，∠BOD=30°，四边形EDAC是等腰梯形吗？请说明理由；
（3）若AC=15，AB=25，请在图4中作出点D的位置使四边形的EDAC周长最小，请补全图形并求出四边形的EDAC的最小周长．

提问时间：2020-07-13

答案

（1）点0是BC的中点，即OC=OB，又OE=OD，∠EOC=∠DOB，∴△COE≌△BOD．
∴CE=DB，∠E=∠EDB，
∴CE∥AB，而D为AB的中点，
∴CE=AD，由平行四边形判别定理可得EDAC为平行四边形．
（2）由（1）可知CE∥AB，
∴四边形EDAC是梯形，
在Rt△ABC中，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠BOD=30°，
∴∠EDA=60°=∠A，
∴四边形EDAC是等腰梯形．
（3）根据图1、2、3可知，CE与BD的等长的，所以只有当ED是最小的，才会使得四边形EDAC的周长最小，故只有当ED⊥AB时才会令四边形EDAC周长最小．
对于Rt△ABC，由勾股定理求得BC=20，
∴BO=10
∵∠B=∠OCE，∠ODB=∠E=90°，
∴△BOD∽△BAC，
∴

BO

BA

=

OD

AC

，可求得，OD=6，
∴ED=12，
四边形EDAC周长为：15+25+12=52．