题目
请解释梯度、旋度和散度的几何、物理意义
提问时间:2020-07-13
答案
设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w,在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw,则称为该物理参数的 梯度 ,也即该物理参数的变化率.如果参数为速度、浓度或温度,则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度. 在向量微积分中,标量场的梯度是一个向量场.标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最大的变化率.更严格的说,从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似.在这个意义上,梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况. 在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率. 梯度一词有时用于斜度,也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度.可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度.梯度的数值有时也被成为梯度. 在二元函数的情形,设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点P(x,y)∈D,都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个:(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度本意是一个向量(矢量),当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值,即函数在该点处沿方向变化最快,变化率最大(为该梯度的模). 旋度的数学定义设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy - δQ/δz ,δP/δz - δR/δx ,δQ/δx - δP/δy 的向量叫做向量场A的旋度,记作 rot A 或 curl A ,即 rot A= (δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分(partial derivative)符号. 行列式记号 旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示: 若A=Ax·i+Ay·j, 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量. 旋度的物理意义 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近,那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来,这两者的比值有一极限值,记作即单位面积平均环流的极限.它与闭合曲线的形状无关,但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则,旋度的重要性在于,可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度. 散度的概念 div F=▽·F 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S,当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时,则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度,并记作div F 由散度的定义可知,div F 表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量,所以div F 描述了通量源的密度. 散度的重要性在于,可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度,当div F>0 ,表示该点有散发通量的正源;当div F
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点
- 1某温度下,向PH=6的纯水中加入一定量的盐酸,保持温度不变,测得溶液的pH=2,对于该溶液,下列叙述中不正确的是( ) A.pH=6的纯水呈中性 B.该溶液的浓度c(HCl)=0.01mol•L-1
- 2揠苗助长的故事的解释?
- 3It makes people ( ) to say the same thing again and again?括号里填什么单词?
- 4长度测量误差一般受什么影响?
- 5有一道数学题:下列图形中,绕某个点旋转180°后能与自身重合的有()个? a.5 b.2
- 6同学请问91是质数吗?它除以7等于多少?
- 7最早适应陆地生活的脊椎动物是
- 8关于分数加减混合运算题和几何图形的问题
- 9在书上乱写英语怎么说?
- 10在500ML0.1MOL/L FECL2溶液中通入一定量的氯气.待反应完毕后将其稀释到1L,再取出1/10加入足量的AGNO3溶液,得到沉淀为2.009克,试回答: