题目

自然数按如下规律排列：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
…… ………
与2006相邻的四个数（上、下、左、右）之和是多少?（请写明解题思路）
1在3上面

提问时间：2020-07-13

答案

解法一：
第1行1个数,最后一个是1=1²
第2行3个数,最后一个是4=2²
……
第n行2n-1个数,最后一个是n²
44²=1936<2006<2025=45²,且2006-1936=70
所以2006是第45行第70个数
显然,其左边是2005,右边是2007
第44行有2×44-1=87个数,其第1个是43²+1=1850,第87个是44²=1936
那么2006的上面应该是第44行的第70-1=69个数,即1850-1+69=1918
第46行有2×46-1=91个数,其第1个是45²+1=2026,第91个是46²=2116
那么2006的下面应该是第46行的第70+1=71个数,即2026-1+71=2096
所以,2006相邻的四个数（上、下、左、右）之和是：
1918+2096+2005+2007=8026
解法二：
第1行1个数,最后一个是1=1²
第2行3个数,最后一个是4=2²
……
第n行2n-1个数,最后一个是n²
44²=1936<2006<2025=45²,且2006-1936=70
所以2006是第45行第70个数,显然2006不是第45行两端的数,所以有上下左右四个相邻的数.
仔细观察数据的排列规律,可知：第n行的每个数(除两端外)都比其上相邻的数多2(n-1)个,比其下相邻的数少2n个,两者之和是该数的两倍加上2.
又,每个不在两端的数的左右相邻的数之和是该数的两倍.
那么,2006相邻的四个数（上、下、左、右）之和是：
2006×4+2=8026