题目

已知中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆C的上下焦点F1,F2,短轴的一个端点到一个焦点的距离为根号二
椭圆上的点到一个焦点的最大距离为根号二加一 求椭圆方程 【2】AB是过F1的一条动弦,求三角形ABF2面积的最大值

提问时间：2020-07-13

答案

依题设,得 椭圆方程为y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0)
短轴的一个端点到一个焦点的距离为√2,即 √(b²+c²)=√2=a
椭圆上的点到一个焦点的最大距离为√2+1,即 a+c=√2+1
∴ a=√2 b=c=1 椭圆方程为y²/2+x²=1
依题设,得 F1(0,1) F2(0,-1)
若直线AB的斜率不存在,构不成三角形,故存在,设方程为y=kx+1
代入椭圆方程,得 (kx+1)²+2x²=2 即 (k²+2)x²+2kx-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2k/(k²+2) x1*x2=-1/(k²+2)
∴ |AB|=√(1+k²)|x1-x2| F2到直线AB的距离为d=2/√(1+k²)
则 S△ABF2=|AB|*d/2=|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1*x2]
=√{2-2[2/(k²+2)-1]²}≤√2 k=0时,取等
最大值为√2