题目

若函数f（x）=x²-2ax+b（a＞1）的定义域与值域都是[1，a]，则实数b=______．

提问时间：2020-07-11

答案

函数f（x）=x²-2ax+b（a＞1）的对称轴方程为x=−

−2a

2

＝a＞1，
所以函数f（x）=x²-2ax+b在[1，a]上为减函数，
又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，
则

f(1)＝a f(a)＝1

，即

1−2a+b＝a    ① a2−2a2+b＝1②

，
由①得：b=3a-1，代入②得：a²-3a+2=0，解得：a=1（舍），a=2．
把a=2代入b=3a-1得：b=5．
故答案为5．

首先求出函数的对称轴方程，由此判断函数在给定的定义域[1，a]内是减函数，再根据函数的值域也是[1，a]，联立

f(1)＝a f(a)＝1

，可求b的值．

本题考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．

考点点评：本题考查了二次函数的单调性，考查了函数的值域的求法，考查了方程思想，解答此题的关键是判断函数在给定定义域内的单调性，此题是基础题．