题目

已知点A(2,2)B(5,3)C(3,-1)求过三点的圆的方程,若xy满足圆方程求x平方+y平方和x-2y的最值,关键是后一问!

提问时间：2020-07-11

答案

可先将这三点的座标代入圆的一般式
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2,解这组三元联立方程式之后,可得 a = 4,b = 1,r^2 = 5
(x-4)^2 + (y-1)^2 = 5,y = 1 + 根号[5-(x-4)^2],y = 1 - 根号[5-(x-4)^2]
设 z = x - 2y,代入y 值 (先用正根号值)
= x - 2{1 + 根号[5-(x-4)^2]}
求 dz/dx = 1 - [-2(x-4)]/根号[5-(x-4)^2] [ 5-(x-4)^2 不等于 0]
设 dz/dx = 0,解之,令x < 4,得 x = 3
求 y 值,得 y = 3 或 -1,x - 2y = -3 或 5
再设 z = x - 2y,代入y 值 (用负根号值)
= x - 2{1 - 根号[5-(x-4)^2]}
求 dz/dx = 1 + [-2(x-4)]/根号[5-(x-4)^2] [ 5-(x-4)^2 不等于 0]
设 dz/dx = 0,解之,令x > 4,得 x = 5
求 y 值,得 y = 3 或 -1,x - 2y = -1 或 7
当 5-(x-4)^2 等于 0,y = 1,x = 1.76 或 6.24,x - 2y 的值在 -3 与7 之间.
x - 2y 的最大值为 7,最小值为 -3
用相同的方法,可以求出 z = x^2 + y^2 的最大和最小值.比较麻烦,我就不做了.我相信提问者可以处理了.如有问题,请再追问.