题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=
,点F是PD的中点,点E在CD上移动.
(1)求三棱锥E-PAB体积;
(2)当点E为CD的中点时,试判断EF与平面PAC的关系,并说明理由;
(3)求证:PE⊥AF.
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(1)求三棱锥E-PAB体积;
(2)当点E为CD的中点时,试判断EF与平面PAC的关系,并说明理由;
(3)求证:PE⊥AF.
提问时间:2020-07-11
答案
(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴VE−PAB=VP−ABE=
S△ABE•PA=
×
×1×
×1=
.
(2)当点E为BC的中点时,EF||平面PAC.
理由如下:∵点E,F分别为CD、PD的中点,
∴EF||PC.∵PC⊂平面PAC,EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC
(3)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形,
∴CD⊥AD∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD,
点F是PD的中点∴AF⊥PD,
又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC
∵PE⊂平面PDC,∴PE⊥AF.
∴VE−PAB=VP−ABE=
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(2)当点E为BC的中点时,EF||平面PAC.
理由如下:∵点E,F分别为CD、PD的中点,
∴EF||PC.∵PC⊂平面PAC,EF⊂平面PAC∴EF||平面PAC
(3)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD∴CD⊥PA∵ABCD是矩形,
∴CD⊥AD∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD∵AF⊂平面PAD∴AF⊥DC∵PA=AD,
点F是PD的中点∴AF⊥PD,
又CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC
∵PE⊂平面PDC,∴PE⊥AF.
(1)求出底面ABE的面积,求出高PA,即可求三棱锥E-PAB体积;
(2)点E为CD的中点,推出EF||PC,证明EF∥平面PAC即可;
(3)证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD,PD,即可证明AF⊥平面PDC,从而证明PE⊥AF.
(2)点E为CD的中点,推出EF||PC,证明EF∥平面PAC即可;
(3)证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD,PD,即可证明AF⊥平面PDC,从而证明PE⊥AF.
棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.
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