题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-48n，
（1）求数列的通项公式； 
（2）求S_n的最大或最小值．

提问时间：2020-07-07

答案

解（1）a₁=S₁=1²-48×1=-47…（2分）
当n≥2时    a_n=S_n-S_n-1=n²-48n-[（n-1）²-48（n-1）]=2n-49…（5分）
a₁也适合上式
∴a_n=2n-49（n∈N₊）…（7分）
（2）a₁=-47，d=2，所以S_n有最小值
由

an＝2n−49≤0 an+1＝2(n+1)−49＞0

得23

1

2

＜n≤24

1

2

…（10分）
又n∈N₊∴n=24即S_n最小…（12分）
S24＝24×(−47)+

24×23

2

×2＝−576…（15分）
或：由S_n=n²-48n=（n-24）²-576∴当n=24时，S_n取得最小值-576．

（1）利用递推公式a_n=S_n-S_n-1可求
（2）若使S_n最小，则有a_n＜0，a_n+1≥0，求出n的值，代入可求

本题考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的前n项和．

考点点评：本题（1）主要考查了利用数列的递推公式a_n=S_n-S_n-1求解数列的通项公式，（2）主要考查了求解数列和的最小值问题，主要利用数列的单调性，则满足a_n＜0，a_n+1≥0．