题目

双曲线a平方分之x平方减b平方分之y平方等于1（a>0,b>0)的离心率为根号2,且焦点到渐近线的距离等于1
求双曲线的方程
直线L：y=kx+1与双曲线交于不同的B、C,并且B、C两点都在以双曲线的右顶点A为圆心的同一圆周上,求实数K的值

提问时间：2020-06-29

答案

因为双曲线的离心率为√2,即c/a＝√2,所以c^2＝2a^2＝a^2＋b^2,a＝b,
又焦点到渐近线的距离为1,即b＝1,所以双曲线的标准方程为x^2－y^2＝1.
(2)由(1)得,A(1,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),则(x1)^2－(y1)^2＝1,即(y1)^2＝(x1)^2－1,同理(y2)^2＝(x2)^2－1.
因为AB＝AC,有(x1－1)^2＋(y1)^2＝(x2－1)^2＋(y2)^2,整理得(x1－x2)(x1＋x2－1)＝0
当x1＝x2时,直线l的斜率不存在,此时直线与双曲线无交点,不满足条件,所以x1＋x2－1＝0,即x1＋x2＝1.
又将直线方程代入双曲线方程得：(1－k^2)x^2－2kx－2＝0,有x1＋x2＝(2k)/(1－k^2),则有(2k)/(1－k^2)＝1,解之得k＝－1±√2.
又△＝(2k)^2＋8(1－k^2)＝8－4k^2≥0,且1－k^2≠0,所以k∈[－√2,－1)∪(－1,1)∪(1,√2],所以k＝－1＋√2.