题目
怎么证明根号5是无理数
提问时间:2020-06-29
答案
通俗地说,无理数是不能化为分数的数,
严格地说,无理数就是不能写成两个整数比的数.
用反证法证明√5是无理数.
设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)
两边平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5,设p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因数5,即q有因数5
这样p,q有公因数5,
这与假设p,q最大公约数为1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,
√5不是有理数而是无理数.
严格地说,无理数就是不能写成两个整数比的数.
用反证法证明√5是无理数.
设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)
两边平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5,设p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因数5,即q有因数5
这样p,q有公因数5,
这与假设p,q最大公约数为1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,
√5不是有理数而是无理数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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