题目

设F1,F2是椭圆C1:x平方/6+y平方/2=1的焦点,P是双曲线C2:x平方/3-y平方=1与C1的一个交点,求向量PF1*
向量PF2/绝对值向量PF1*绝对值向量PF2 的值

提问时间：2020-06-28

答案

题中的F1、F2是指焦点吧?!
由于题中椭圆与双曲线都关于原点成中心对称,关于x轴和y轴成轴对称,所以不妨假设点P是椭圆与双曲线右支的交点,
椭圆C1中,易知焦点在x轴上,a1=√6,c1=2；双曲线C2中,知焦点在x轴上,a2=√3,c2=2
则可知椭圆C1与双曲线C2焦点相同,且焦距|F1F2|=4
且不妨设F1、F2分别是左、右焦点
所以分别可由椭圆和双曲线的定义得：
|PF1|-|PF2|=2√3,|PF1|＋|PF2|=2√6
解得|PF1|=√6+√3,|PF2|=√6－√3
则在△PF1F2中,由余弦定理可得：
cos∠F1PF2=(|PF1|²＋|PF2|²-|F1F2|)/(2|PF1|*|PF2|)
=(9+6√2+9-6√2-16)/(2*3)
=1/3
又由向量数量积的定义可得：
向量PF1*向量PF2＝|向量PF1|*|向量PF2|*cos∠F1PF2
则向量PF1*向量PF2/|向量PF1|*|向量PF2|＝cos∠F1PF2＝1/3