题目

已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F₁，F₂，记它们其中的一个交点为P，且∠F₁PF₂=120°，则该椭圆离心率e₁与双曲线离心率e₂必定满足的关系式为（　　）
A.

1

4

e

提问时间：2020-06-27

答案

由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=120⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁||PF₂|=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤
将④⑤代入③得3a²+m²=4c²，即

3

4× c2 a2

+

1

4× c2 m2

＝1，即

3

4e12

+

1

4e22

=1
故选C