题目

一道关于双曲线的数学题
过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0）的右焦点F作双曲线在第二、四象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.
5 [ 标签：双曲线,焦点双曲线,渐近线 ]
（1）求证：P在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围.

提问时间：2020-06-26

答案

(1)设a^2+b^2=c^2,c>0,有F（c,0）
该渐近线方程为y=-(b/a)x,则过F的垂线为y=(a/b)(x-c)
联立方程组可解得 x=a^2/c,即在右准线x=a^2/c 上.
(2)因为直线l与双曲线左右支均有交点,则该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l1必交于第三象限.
所以l1的斜率必大于l的斜率,即 b/a > a/b,即b^2 > a^2,又b^2=c^2-a^2,
所以c^2>2*(a^2) 则离心率e=c/a>sqrt2