题目

若m＞n＞0,a＞0,且a≠1,试比较（a的m次方）+（a的-m次方）与（a的n次方）+（a的-n次方）的大小.

提问时间：2020-06-25

答案

(a^m + a^-m) - (a^n - a^-n)
= a^m - a^n + (1/a^m - 1/a^n)
= a^m - a^n + (a^n - a^m)/a^(m+n)
= (a^m - a^n)[1 - 1/a^(m+n)]
当 a > 1 时
a^m - a^n > 0
1 - 1/a^(m+n) > 0
当 a < 1 时
a^m - a^n < 0
1 - 1/a^(m+n) < 0
因此 不论 a 是怎样情况 均有
(a^m + a^-m) - (a^n + a^-n) > 0
因此
a^m + a^-m > a^n + a^-n