题目

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0),(1)证明该方程的一个根大于2,另一个根小于2
（2）若对于a=1,2,3.......2012，相应方程的两根分别为（α1，β1）......（α2012，β2012），求1/α1+1/β1+1/α2+1/β2+......+1/α2012+1/β2012

提问时间：2020-06-25

答案

（1）f(2)=2²-2*2-a²-a=-a²-a<0恒成立 ,开口向上,故该方程的一个根大于2,另一个根小于2
（2）1/α+1/β=（α＋β）/α*β=2/(-a²-a)
1/α1＋1/β1＋1/α2＋1/β2＋1/α3＋1/β3＋1/α4＋1/β4＋······＋1/α2012＋1/β2012
=（1/α1＋1/β1）＋（1/α2＋1/β2）＋（1/α3＋1/β3）＋（1/α4＋1/β4）＋······＋（1/α2012＋1/β2012）=-2/1(1+1)-2/2(2+1)-2/3(3+1)-2/4(4+1)-2/5(5+1)-……-2/2012(2012+1)
=-2(1-1/2012)
=-4014/2013