题目

能被7整除的数的特征（数学高手进）
我只知道用同于类,但是那个是三位三位的.能不能用一个简单的
比如：奇数位的和的2倍减去偶数位的和如果任能7整除,那么这个数能被7整除.这个是不是 对的 怎么证明呢

提问时间：2020-06-25

答案

思想的碎片JJ ：
你说的：奇数位的和的2倍减去偶数位的和如果任能7整除,那么这个数能被7整除.这个是显然不成立的,比如：1005928,它的奇数位和2倍减偶数位和是29,不能被7整除,但1005928显然是能被7整除的!
判断一个数能否被7整除,有两种方法：
①割尾法：
若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ,59－5×2＝49,所以6139是7的倍数,余类推.
割尾法：
设p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因为21=7*3,所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数
②末三法：
这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除.这个数就能被7、11、13整除.
例如：1005928
末三位数：928,末三位之前：1005 1005-928=77
因为7 | 77,所以7|1005928
末三法,简略证明：
设一个数为ABCDEF=ABC×1000+DEF=ABC×1001-ABC+DEF=ABC×7×13×11-(ABC-DEF),由此可见只要ABC-DEF能被7整除,则ABCDEF能被7整除.