题目

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0.（1）若C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
（2）从c外一点P（x1,x2)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有/PM/=/PQ/,求使得/PM/去的最小值的点P的坐标.

提问时间：2020-06-25

答案

1.
令切线的方程为y=kx+c（k≠0）【存在x、y轴截距,故k≠0】,圆C的方程为（x+1）^2+(y-2)^2=2,圆心为（-1,2）,半径为√2.
圆心到切线的距离为|-k-2+c|/√（k^2+1）=√2,即（k+2-c）^2/(k^2+1)=2 ①
切线在x、y轴上的截距分别为c,-c/k.|c|=|c/k|（k≠0）
⑴当c=0时,解方程①得,c=2+√3或2-√3,即切线为y=（2+√6）x或y=（2-√6）x；
⑵当c≠0时,k=1或-1,
a、当k=1时,解方程①得c=1或5,即切线为y=x+1或y=x+5；
b、当k=-1时,解方程①得c=-1或3,即切线为y=-x-1或y=-x+3；
综上切线方程为：y=（2+√6）x或y=（2-√6）x或y=x+1或y=x+5或y=-x-1或y=-x+3.
2.
圆C:x^2+y^2+2x-4y+3=0,(x+1)^2+(y-2)^2 =2
圆心Q(-1,2),半径r^2 =2
|PO|^2 =|PM|^2 =|PQ|^2 -r^2
==> a^2+b^2 =[(a+1)^2+(b-2)^2] -2
点P的轨迹方程：2a-4b+3=0,斜率=1/2
原点O(0,0)到该直线的垂线:2x+y=0,垂足(-3/10,3/5)
使PM取最小值的点P的坐标:(-3/10,3/5)