题目

已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+5，若x＝

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时，y＝f(x)有极值，且曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

提问时间：2020-06-25

答案

（1）f'（x）=3x2+2ax+b．由题意，得f′(23)＝3×(23)2+2a×23+b＝0f′(x)＝3×12+2a×1+b＝3.解得a＝2b＝−4.所以，f（x）=x3+2x2-4x+5．（2）由（1）知f'（x）=x3+4x-4=（x+2）（3x-2）．令f′(x)＝0，得x1＝−2，...

（1）先求函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导函数，再由x=

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时，y=f（x）有极值，列一方程，曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3，列一方程，联立两方程即可得a、b值
（2）先求函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导函数，再解不等式得函数的单调区间，最后列表列出端点值f（-4），f（1）及极值，通过比较求出y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查了导数在函数极值和函数最值中的应用，解题时要耐心细致，规范解题步骤，避免出错．