题目

正弦定理和余弦定理的证明

提问时间：2020-06-25

答案

正弦定理
证明
　　步骤1 　　在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB 　　CH=b·sinA 　　∴a·sinB=b·sinA 　　得到 　　a/sinA=b/sinB 　　同理,在△ABC中,　　b/sinB=c/sinC 　　步骤2.　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：　　如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.　　作直径BD交⊙O于D.　　连接DA.　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 　　因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 　　类似可证其余两个等式.
余弦定理
平面几何证法
　　在任意△ABC中 　　做AD⊥BC.　　∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 　　则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 　　根据勾股定理可得：　　AC2=AD2+DC2 　　b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 　　b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 　　b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 　　b2=c2+a2-2ac*cosB 　　cosB=(c2+a2-b2)/2ac