题目

在一个3*3的方格表中填入1,2,3,4,5,6,7,8和X,使得各行,各列所填的3个数和都相等,求X,

提问时间：2020-06-25

答案

在一个3*3的方格表中填入1,2,3,4,5,6,7,8和X,使得各行,各列所填的3个数和都相等,求X,
注：题目中并没有定义斜向上三数之和.
总和等于 1+...+8+X=36+X=9Y,Y是平均数.
又36+X=9Y=3行之和=3列之和,故:行和=列和=12+X/3=3Y,称之为正和.
设整个方阵P=
a,b,c;
d,e,f;
g,h,i
并设第u行取和的表达式为Lu,第v列取和的表达式为Mv,aei之和为S,ceg之和为Z.
由L2+M2+S+Z=所有数之和+3e=2*正和+S+Z,即9Y+3e=2*3Y+S+Z,故3e=S+Z-3Y.
未完待续.
外一则：下面给出不完全的解集,如X={0,9}
X=9得到常见的三阶幻方
4,9,2;
3,5,7;
8,1,6
及其镜像与旋转状态,共八种状态；
X=0可得到上述三阶幻方各项减1所成的幻方
3,8,1;
2,4,6;
7,0,5
及其镜像与旋转状态,共八种状态；
附：三阶方阵的对称性
三阶方阵,考虑到镜像与旋转,共八种状态.
考虑到对称性,我们认为只有一种结果.
其他结果经过旋转或镜像可以与以上结果等同.
一、
(空间)旋转等价.等价,或称对称；旋转,或称角度环移.共有4种：
自身､顺旋､对旋､逆旋,即
(0)方阵自身,特征值是1.
(1)顺时针旋转一直角,等价于逆时针旋转三直角,特征值是虚数单位i.
(2)顺时针旋转二直角,等价于逆时针旋转二直角,特征值是虚数单位-1=i*i.
(3)顺时针旋转三直角,等价于逆时针旋转一直角,特征值是虚数单位-i.
相当于四人坐于方桌,自己,上家,对家,下家.
二、镜像等价或镜像对称.两种：自身,像.
注意,—水平轴之镜像,(主对角线)像,| 竖直像,/(次对角线)像,是在旋转对称下等效的.
也就是说,相对于镜面,实际只有一种镜像方式,只是随镜面的旋转(相应的对称轴也在旋转)而分为四种对称方式,它们得到的结果集是相同的.
水平像：即以竖直线为对称轴的对称,相对于竖直方向的中轴镜像一下,即中间竖线不动,左右交换得到的结果.
三、事实上,旋转又可以视为镜像的复合（积）.
如每一种镜像,自身重做一次,即得到0态旋转（即自身,即不旋转）；
—镜像,再|镜像,相当于旋转180度等.这也可以用矩阵的特征值来解释.略.