题目

半径为R的带电介质球,相对介电常数为εr,体密度分布为ρ=k/r （k为常数） 求球内、外电位移和电场分布

提问时间：2020-06-25

答案

∮D·dS=Q=∫ρdV,
【1】先讨论球内:
由于球有球对称性,以任意过球心的直线为轴来转动,转动前后的电场都一样,所以,D和E方向都只能够沿着半径方向,才能够满足这种对称性,也就是说,某点的D和E只和该点到球心距离r有关.在球内取一个球面作为高斯面,球心和带电介质球球心重合,半径r＜R,那么该高斯面上各个点的D的大小都一样,那么
∮D·dS=D∮dS=D·4πr²,
Q=∫ρdV=∫(k/r)4πr²dr=2πr²k,积分范围是0到r,其中dV=4πr²dr,是高斯面所包围的体积的增大量,
由高斯定理∮D·dS=Q得
D·4πr²=2πr²k,
D=K/2,E=D/ε=D/εoεr,
【2】讨论球外：
r＞R,高斯面包围的电荷Q=∫ρdV=∫(k/r)4πr²dr=2πR²k,积分范围是0到r,可是,只有0到R才有电荷分布,而R到r这个区域没有电荷,所以得到这个结果,所以
D·4πr²=2πR²k,
D=R²k/2r²,E=D/εo=R²k/2εor².