题目

1/2+1/3+1/4+1/5+.+1/N=?怎么求?

提问时间：2020-06-25

答案

调和级数发散,这是一个高等数学命题.
       形如

的级数称为调和级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）.

       很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单：





       随后很长一段时间,人们无法使用公式去逼近调和级数,直到无穷级数理论逐步成熟.
       Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是：
                         1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)


       Euler近似地计算了r的值,约为0.5772156649.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜.


在wikipedia上,关于调和级数公式还有一种表达：

其中,





（为了验证上述调和级数的精确度,可以在附件中看一下对应不同的 N ,标准值与公式值的差异.）