题目
已知F1，F2是椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
提问时间：2020-06-24
答案
设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0），|PF1|=m，|PF2|=n．
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，
∴4c2=4a2-3mn．即3mn=4a2-4c2．
又mn≤（
）2=a2（当且仅当m=n时取等号），
∴4a2-4c2≤3a2，∴
≥
，即e≥
．
∴e的取值范围是[
，1）．
（2）由（1），得mn=
＝
b2，
∴S△F1PF2=
mnsin60°=
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，
∴4c2=4a2-3mn．即3mn=4a2-4c2．
又mn≤（
| m+n |
| 2 |
∴4a2-4c2≤3a2，∴
| c2 |
| a2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴e的取值范围是[
| 1 |
| 2 |
（2）由（1），得mn=
| 4(a2−c2) |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴S△F1PF2=
| 1 |
| 2 |
|