题目

在高数的极限里,分子次数和分母次数,有什么关系?
我听说,分子次数低于分母次数,极限为零.那么分子次数高于分母次数是什么样?（当X趋近于∞的时候）

提问时间：2020-06-20

答案

如果是在两个无穷小间的比较,即分子分母都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小且分母不不等于0：
如果分子次数高于分母,其比值极限为0：分子式比分母高阶的无穷小；
如果分子比分母极限为无穷大：分子式比分母低阶的无穷小；
若比值极限为常数：分子分母同阶无穷小；
若比值极限为1：分子为分母的等价无穷小.
这些都是在自变量趋近于0时的比较,即x趋近于0,按提问者说的就是1/x趋近于无穷.
若x趋近于无穷,则分子分母调换即可.
无穷小的比较主要为了引出等价无穷小,在求极限或者求导过程中,利用等价无穷小替换,简化运算.