题目

设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：f（x）≤2x-2．

提问时间：2020-06-20

答案

（Ⅰ）f'（x）=1+2ax+

b

x

，
由已知条件得：

f(1)＝0 f/(1)＝2

，即

1+a＝0 1+2a+b＝2

解之得：a=-1，b=3
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x-x²+3lnx，
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，则
g/(x)＝−1−2x+

3

x

=−

(x−1)(2x+3)

x

当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0
所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0
即当x＞0时，函数g（x）≤0
∴f（x）≤2x-2在（0，+∞）上恒成立

（Ⅰ）求出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值；
（Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）-（2x-2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是一道常见的函数题．