题目

已知关于x的实系数方程x²-2ax+a²-4a+4=0的两虚根为x₁、x₂，且|x₁|+|x₂|=3，则实数a的值为______．

提问时间：2020-06-19

答案

∵关于x的实系数方程x²-2ax+a²-4a+4=0的两虚根为x₁、x₂，
∴△=4a²-4（a²-4a+4）=16（a-1）＜0，解得a＜1．
x₁+x₂=2a，x₁x₂=a²-4a+4≥0．
设x₁=m+ni，x₂=m-ni（m，n∈R）．
∴

2m＝2a m2+n2＝a2−4a+4

∵|x₁|+|x₂|=3，
∴2

m2+n2

=3．
∴m²-4m+4=

9

4

，m＜1，
解得m=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

关于x的实系数方程x²-2ax+a²-4a+4=0的两虚根为x₁、x₂，可得△＜0，解得a＜1．利用根与系数的关系x₁+x₂=2a，x₁x₂=a²-4a+4≥0．设x₁=m+ni，x₂=m-ni（m，n∈R）．则

2m＝2a m2+n2＝a2−4a+4

，利用|x₁|+|x₂|=3，可得2

m2+n2

=3．解出即可．

本题考点：复数代数形式的混合运算．

考点点评：本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．