题目

已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且|AF|+|BF|=8，线段AB的中垂线恒过定点Q（6，0），求此抛物线的方程．

提问时间：2020-06-19

答案

由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+

p

2

+x2+

p

2

＝x1+x2+p＝8
∴x₁+x₂=8-p．
∵点Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，
∴|QA|=|QB|即：（x₁-6）²+y₁²=（x₂-6）²+y₂²，
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴（x₁-6）²+2px₁=（x₂-6）²+2px₂，
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-12+2p）=0．
∵x₁≠x₂∴x₁+x₂-12+2p=0即：x₁+x₂=12-2p=8-p
解得：p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x．