题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

提问时间：2020-06-18

答案

由f（x）=x3+ax2+bx+5，求导数得f'（x）=3x2+2ax+b，由在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3，知f'（1）=3，即3+2a+b=3，化简得2a+b=0  ①．（1）因为y=f（x）在x=-2（3）时有极值，所以，f'（...

（1）由条件知，f'（1）=3，即2a+b=0  ①，再由f'（-2）=0，即12-4a+b=0 ②，①②联立解得a，b的值，
从而得到f（x）的解析式．
（2）依题意f'（x）在[-2，1]上恒有f'（x）≥0，分y=f'（x）的对称轴 在区间的左侧、右侧、中间三种
情况求得f'（x）的 最小值，由最小值大于或等于0求出b的取值范围．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，
以及推理论证能力和运算求解能力．