题目

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且|AF|=p，则双曲线的离心率为（　　）
A.

2

+1
B.

3

+1
C.

5 +1

2

D.

2 2 +1

2

提问时间：2020-06-18

答案

∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c
∵|AF|=p，∴A（

p

2

，p）
∵点A在双曲线上
∴

p2

4a2

-

p2

b2

=1
∵p=2c，b²=c²-a²
∴

c2

a2

-

4c2

c2-a2

=1
化简得：c⁴-6c²a²+a⁴=0
∴e⁴-6e²+1=0
∵e²＞1
∴e²=3+2

2

∴e=1+

2

故选：A．

根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据|AF|的值可得A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b²=c²-a²联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．