题目

中心在原点，一个焦点为F₁（0，

50

）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为

1

2

，求椭圆的方程．

提问时间：2020-06-17

答案

设椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由F₁（0，

50

）得a²-b²=50．
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系得x₁+x₂=

12b2

a2+9b2

，
又AB的中点的横坐标为

1

2

，∴

x1+x2

2

=

6b2

a2+9b2

=

1

2

，
∴a²=3b²，与方程a²-b²=50联立可解出a²=75，b²=25．
故椭圆的方程为

y2

75

+

x2

25

=1．

先根据焦点坐标得出a2-b2=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．