题目

幂函数的性质

提问时间：2020-06-17

答案

概念：形如y=x^a(a为常数）的函数,即以底数为自变量 幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数.
特性：对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数（即p、q互质）,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方）,如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞）.当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是（－∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道：a小于0时,x不等于0；q为偶数时,x不小于0；q为奇数时,x取R.
定义域与值域：当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下：1.如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数；2.如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数.当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下：1.在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数.2.在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数.而只有a为正数,0才进入函数的值域.
第一象限的特殊性：（1）所有的图形都通过（1,1）这点.(a≠0) a>0时 图象过点（0,0）和（1,1）（2）当a大于0时,幂函数为单调递增为增函数,而a小于0时,幂函数为单调递减为减函数.（3）当a大于1时,幂函数图形下凸（竖抛）；当a小于1大于0时,幂函数图形上凸（横抛）.当a小于0时,图像为双曲线.（4）当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大.（5）显然幂函数无界限.（6）a=2n,该函数为偶函数 {x|x≠0}.
图象：①当a≤-1且a为奇数时,函数在第一、第三象限为减函数②当a≤-1且a为偶数时,函数在第二象限为增函数,第一象限为减函数③当a=0且x不为0时,函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1) ④当0