题目

定义域在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f（x）的最小正周期是π.且当x∈[0,π/2]时,f（x）=sinx.
（1）求当x∈[-π,0]时,f（x）的解析式.
（2）求当f（x）≥1/2时,x的取值范围

提问时间：2020-06-16

答案

由题意得f(x)=f(x+π),且f(x)=f(-x)
则f(-x)=f(-x+π)=f(x)
f(x)以π/2为对称轴
由x∈[0,π/2]时,f（x）=sinx
则当x∈[π/2,π]时,-x+π∈[0,π/2],f(x)=f(π-x)=sin(π-x)=sinx
故当x∈[0,π]时,f（x）=sinx
(1) 当x∈[-π,0]时,-x∈[0,π],f（-x）=-sinx=f(x)
所以 当x∈[-π,0]时,f（x）=-sinx.
(2) 由(1)可以知道,对x∈R,f（x）=|sinx|
当f（x）≥1/2时,x∈[π/6+kπ,5π/6+kπ],k∈Z