题目

已知双曲线对称轴为坐标轴,两个顶点距离为2,焦点到渐近线距离为根号2,求双曲线方程

提问时间：2020-06-13

答案

因为双曲线两个顶点距离为2,所以长轴为2,那么长轴的一半a=1
根据椭圆性质求出右焦点F(根号下(a^2+b^2),0) 渐近线的方程为bx-ay=0 (不是非得去右焦点,因为都是一样的,只是抽出其中一个焦点算罢了)
根据点线距离公式,求出F到渐近线的距离刚好为b,所以b=根号2
所以该双曲线的标准方程为x^2-y^2/2=1
当双曲线与x轴对称时 方程为x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
同理,双曲线也可以开口纵向,即焦点为(0,根号下(a^2+b^2)),此时双曲线的标准方程为 y^2/2-x^2=1
当双曲线与x轴对称时 方程为(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
综上,
双曲线的方程有四种
(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数